Un probleme de resoudre un exercice

Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour resoudre un exercice de traitement de singalt sur matlab et merci a tous
je suis en master 2 physque
Exercice Estimation de la fonction de covariance – Loi de Gauss à N dimensions


On considère une suite de N échantillons décrivant la trajectoire d’un processus aléatoire
stationnaire SSL X(n). Un traitement préalable a été effectué afin d’enlever la valeur
moyenne et les tendances éventuelles à chaque instant. On cherche à faire une estimation de
la fonction d’autocovariance RX à partir de la donnée de l’ensemble des résultats {X(0), …,
X(N-1)}. Cette fonction est calculée pour différents décalages kÎ{0,…., K-1} dans
l’hypothèse ergodique:
RX(k)= ( ) ( )

on sélectionne en pratique une valeur K petite devant N : K < N/10. Pourquoi parle-t’on d’une
« estimation » de la grandeur statistique ?
1) Calcul direct : Pour calculer directement la fonction de covariance RX, la fonction
toeplitz de Matlab est utilisée : le but est de construire une matrice D hermitienne dont
la multiplication avec un vecteur colonne particulier permettra d’obtenir RX.
2) Calcul indirect (par fft) : Montrer que la fonction RX estimée apparaît comme la
convolution de X(n) par X*(-n), en considérant les propriétés connues de sa
transformée de Fourier.
(Rem : X(n) étant discret, la convolution est de type circulaire et c’est sa TFD, U(f),
qu’il faut considérer).
Pour obtenir la suite des K premières valeurs de la fonction d’autocovariance dans le
domaine fréquentiel, il faut effectuer la suite des opérations suivantes :
• Effectuer la FFT sur L points (> N+K-1) et prendre le module au carré |U(f)|2.
• Appliquer de nouveau la FFT sur le résultat, puis diviser par L
• Conserver les K premières valeurs du résultat et les diviser par N.
Explications des 2 derniers points : la suite de module |U(l)|2 dont on doit prendre la TFD
inverse est réelle et paire. Or, si U(l) désigne la TFD d’une suite réelle u(n) de longueur L, la
TFD directe appliquée à la suite jU* sera jLu. De plus, si la suite U(l) est elle-même réelle, on
aura jU(l) *=jU(l) et donc la TFD(U(l)) donnera Lu(n). D’où la division par L pour obtenir la
TFD inverse de |X(l)|2. Enfin, pour obtenir RX(n), il reste à diviser par N.
Programmes Matlab :
Calcul direct : Générer 1000 points d’un signal aléatoire gaussien de variance unité (la suite
X(n)). Calculer les 15 premiers points de la fonction d’autocovariance : définir Zs un
vecteur ligne de K-1 zéros et Xe la suite formée du vecteur X suivie de Zs.
On appelle D la matrice de teoplitz définie par D = toeplitz([X(0) Zs], Xe). Effectuer le
produit de D par Xe*. Utiliser les indications de 2) pour obtenir les valeurs de la fonction
d’autocovariance RX (k). En shématisant les calculs matriciels, expliciter le choix de la forme
de D et la sélection des K 1ers points pour obtenir le vecteur colonne R1= [RX (0), RX (1), …,
RX (K-1)].
Calcul par TFD : soit U(f) la TFD sur L points de la suite X(n) (proposer une valeur pour L).
Calculer le module au carré de cette TFD et en prendre sa TFD (sans préciser le nombre de
points). Diviser le tout par L puis N. Construire le vecteur colonne R2 à partir des K 1ers
points. Comparer les 2 méthodes. Conclure.